Possiamo definirlo come esponente di una potenza e cioè come prodotto di infiniti fattori e come somma di infiniti addendi

La prima volta che mi sono imbattuto con il concetto di infinito (simbolo matematico un otto ruotato di 90°: ¥) è stato quando il mio docente di matematica del liceo, ha spiegato gli assi cartesiani: una croce al cui centro è posto lo zero e alle estremità, nelle quattro direzioni, è posto l’infinito. L’infinito lo ritroviamo anche nella potenza ennesima di un binomio:

(a + b)ⁿ

sviluppo dovuto a Isaac Newton a cavallo tra 1600 e 1700. Infatti l’esponente n può assumere un valore grande quanto si vuole. Vediamo come trasformare in somma questa potenza al crescere di n.

Per n = 0 si ha:

(a + b)⁰ = 1.

Per n = 1 si ha:

(a + b)¹ = a + b.

Per n = 2 si ha:

(a + b)² = a² + 2ab + b².

Per n = 3 si ha:

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab²+ b³.

…

Analizziamo gli sviluppi.

1. Il numero degli addendi è pari a n+1;
2. La potenza totale dei singoli addendi è pari a n. Es. per n=3 il termine 2ab² ha potenza complessiva pari a 3=1+2;
3. simmetria negli esponenti rispetto ai due termini a e b. Es. per n=3 a e b compaiono quattro volte: a³b⁰; a²b; a¹b²; a⁰b³, ovviamente a⁰=b⁰=1;
4. i coefficienti dei vari addendi sono dati da n!/k!(n-k)!, dove n è l’esponente del binomio ed è un numero intero e k è un numero intero tale che k <= n;
5. n!=1*2*…*n si chiama fattoriale di n ed è il prodotto dei primi n numeri naturali. Ad esempio il coefficiente di a² per n=2 risulta: 2!/0!(2-0)!=1, essendo 0!=1 per convenzione.

Da quanto riportato possiamo riscrivere la potenza n-esima di un binomio come sommatoria di n+1 termini in forma compatta nel seguente modo:

In questo modo si è trasformato formalmente una potenza a esponente infinito nella somma di infiniti addendi (il sigma lettera greca maiuscola rappresenta la somma di infiniti addendi). Non è un caso che i matematici vengano chiamati a formalizzare le nuove scienze o nuove conoscenze. Infatti si potrebbe semplificare, formalmente, la formula precedente introducendo la notazione delle combinazioni semplici di n elementi presi r a r con r < n:

Da quanto detto è chiaro che l’infinito lo troviamo come esponente di una potenza e cioè come prodotto di infiniti fattori e come somma di infiniti addendi perché le operazioni fondamentali di somma e prodotto sono interconesse tra di loro.

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