La bravura del docente condiziona l’apprendimento della matematica

Chiunque abbia frequentato un istituto scolastico si è imbattuto nello studio della matematica. L’esperienza insegna che venga spesso messo in secondo piano ciò che va sotto il nome di dimostrazione dei teoremi matematici. Questa parte della matematica, ad ogni livello e grado di istruzione, viene disattesa con conseguenze – ritengo – disastrose nella formazione perché preclude l’acquisizione di ragionamento logico/formale di argomenti astratti. Spesso si attribuisce la mancanza di questo tipo di insegnamento all’osticità della matematica. La mia esperienza mi porta a dire che spesso il docente manca della dovuta pazienza di “entrare nella mente” dei propri discenti perché ognuno di noi ha un suo modo estremamente soggettivo di apprendere.

Facciamo un esempio.
A chi non è nota la formula del quadrato di un binomio, ossia:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2.
Le relazioni matematiche si prestano ad essere dimostrate con diverse teorie, questo sia per verificare l’attendibilità di quanto affermato sia per confermare la validità della nuova teoria.
Interpretiamo geometricamente il “quadrato di un binomio”, considerando il seguente quadrato avente il lato di lunghezza l:

Scomponiamo l in:
l = a + b
in modo che il quadrato assegnato ABCD risulti diviso in quattro figure geometriche:
1 = quadrato di lato b la cui area è b2
2 = rettangolo di lati a e b la cui area è ab
3 = quadrato di lato a la cui area è a2
4 = rettangolo di lati b e a la cui area è ba
L’area del quadrato ABCD di lato l è dato dalla somma delle aree delle quattro figure in cui lo abbiamo scomposto:
l2 = a2 + ab + ba + b2.
Per la proprietà commutativa della moltiplicazione si ha:
l2 = a2 + 2ab + b2.

Abbiamo dimostrato la relazione dello sviluppo del quadrato di un binomio applicando la geometria anziché l’algebra.
Si può dimostrare la formula in questione utilizzando il calcolo combinatorio che si occupa di definire le proprietà e la potenza dei sottoinsiemi ottenibili associando in diversi modi gli elementi di un dato insieme U.
Poniamo che l’insieme U = a, b sia costituito da due elementi a e b, quindi la potenza di U è due.
Vediamo in quanti modi si possono combinare questi due elementi. Nel fare questo supponiamo che l’insieme U sia costituito da un urna contenente due palline una riportante la lettera a e l’altra la lettera b. Supponiamo ancora che ad ogni estrazione rimettiamo a posto la pallina estratta in modo da avere di nuovo nell’urna due palline prima di fare la seconda estrazione. Supponiamo, in fine, che ogni prova sia compiuta quando estraiamo due palline. In queste condizioni le possibili combinazioni distinte per natura e posizione degli elementi sono le seguenti:
(a,a); (a,b); (b,a); (b,b).

Interpretiamo queste combinazioni geometricamente. Le quattro sequenze trovate corrispondono ai lati delle quattro figure in cui abbiamo diviso il quadrato di fig. 1. Per cui sommando i prodotti delle sequenze trovate e ricordando la proprietà commutativa della moltiplicazione, si ritrova lo sviluppo del quadrato di un binomio applicando il calcolo combinatorio.
Come dimostrato, la realtà matematica (e non solo) può essere dimostrata da diversi punti di vista utilizzando diverse teorie, però alla fine si giunge sempre allo stesso risultato, a condizione che il procedimento sia corretto.

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